多項式

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--- 多項式 [2020/11/22 01:06] – [代数学の基本定理] kittttttan
+++ 多項式 [2020/11/23 12:23] (現在) – [判別式] kittttttan
@@ 行 21: / 行 21: @@
 x^3 \pm a^3 &= (x \pm a)(x^2 \mp ax + a^2) \quad (複号同順) \\
 x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2zx &= (x + y + z)^2 \\
-x^3 + y^3 + z^3 -3xyz &= (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx) \\
+x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz &= (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx) \\
 \end{align}$$
+例: $9991 = 10000 - 9 = 100^2 - 3^2 = (100 - 3)(100 + 3) = 97 \times 103$
 ==== 代数方程式 ====
+代数方程式 f(x) = 0 の解を根(root)という\\
+$f(x) = (x - \alpha)^{k}g(x),\quad g(\alpha) \neq 0 \quad (k \in \mathbb{N})$ のとき α を f(x) の k 重根または k 位の零点といい、k を根 α の位数という。
 === 代数学の基本定理 ===
 複素係数の任意の n 次多項式
-$a_{n}x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_{1}x + a_{0} \quad (a_{n}, \cdots ,a_{0} \in \mathbb{C} ,\; a_{n} \neq 0)$
+$\sum \limits_{k = 0}^{n} a_{k}x^{k} \quad (a_{k} \in \mathbb{C} ,\; a_{n} \neq 0)$
 は複素根を重複を込めてちょうど n 個持つ
+=== 因数定理 ===
+$多項式 f(x) が x − α を因数に持つ <=> f(α) = 0$
+=== 判別式 ===
+多項式の判別式(discriminant)とは、その多項式の根が重根を持つための条件を与える、係数の多項式で最小のもののことである。
+$f(x) = \sum \limits_{k = 0}^{n} a_{k}x^{k} \quad (a_n \neq 0)$
+の重複を含めた根を $α_k (1 \leq k \leq n)$ とすると、
+$$ D = {a_{n}}^{2n-2} \prod \limits_{i,j(i<j)}(\alpha _{i}-\alpha _{j})^{2}=(-1)^{n(n-1)/2}{a_{n}}^{2n-2}\prod \limits _{i,j(i\neq j)}(\alpha _{i}-\alpha _{j}) $$
+判別式 D を係数 $a_k$ で表すには、終結式($Res(f, f')$)を用いて
+$$
+D = \frac{(-1)^{n(n-1) / 2}}{a_{n}}
+\begin{vmatrix}
+a_{n} & a_{n-1} & \cdots & \cdots & a_{0} & & \\
+& \ddots & \ddots & & & \ddots & \\
+& & a_{n} & a_{n-1} & \cdots & \cdots & a_{0} \\
+na_{n} & (n-1)a_{n-1} & \cdots & 1a_{1} & & & \\
+& \ddots & \ddots & & \ddots & & \\
+& & \ddots & \ddots & & \ddots & \\
+& & & na_{n} & (n-1)a_{n-1} & \cdots & 1a_{1}
+\end{vmatrix}
+$$
+二次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の判別式
+$D = b^{2} - 4ac$
+三次方程式 $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ の判別式
+$D = b^{2}c^{2} - 4ac^{3} - 4b^{3}d - 27a^{2}d^{2} + 18abcd$
+=== 解の公式 ===
+== 一次方程式 ==
+$ax + b = 0（a,b \in \mathbb{R},\, a \neq 0)$ の解
+$x = -\frac{b}{a}$

多項式.1605974769.txt.gz · 最終更新: 2020/11/22 01:06 by kittttttan