多項式
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| 多項式 [2020/11/23 11:40] – [代数学の基本定理] kittttttan | 多項式 [2020/11/23 12:23] (現在) – [判別式] kittttttan | ||
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| 行 39: | 行 39: | ||
| $多項式 f(x) が x − α を因数に持つ <=> f(α) = 0$ | $多項式 f(x) が x − α を因数に持つ <=> f(α) = 0$ | ||
| + | |||
| + | === 判別式 === | ||
| + | |||
| + | 多項式の判別式(discriminant)とは、その多項式の根が重根を持つための条件を与える、係数の多項式で最小のもののことである。 | ||
| + | |||
| + | $f(x) = \sum \limits_{k = 0}^{n} a_{k}x^{k} \quad (a_n \neq 0)$ | ||
| + | の重複を含めた根を $α_k (1 \leq k \leq n)$ とすると、 | ||
| + | $$ D = {a_{n}}^{2n-2} \prod \limits_{i, | ||
| + | |||
| + | 判別式 D を係数 $a_k$ で表すには、終結式($Res(f, | ||
| + | $$ | ||
| + | D = \frac{(-1)^{n(n-1) / 2}}{a_{n}} | ||
| + | \begin{vmatrix} | ||
| + | a_{n} & a_{n-1} & \cdots & \cdots & a_{0} & & \\ | ||
| + | & \ddots & \ddots & & & \ddots & \\ | ||
| + | & & a_{n} & a_{n-1} & \cdots & \cdots & a_{0} \\ | ||
| + | na_{n} & (n-1)a_{n-1} & \cdots & 1a_{1} & & & \\ | ||
| + | & \ddots & \ddots & & \ddots & & \\ | ||
| + | & & \ddots & \ddots & & \ddots & \\ | ||
| + | & & & na_{n} & (n-1)a_{n-1} & \cdots & 1a_{1} | ||
| + | \end{vmatrix} | ||
| + | $$ | ||
| + | |||
| + | 二次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の判別式 | ||
| + | $D = b^{2} - 4ac$ | ||
| + | |||
| + | 三次方程式 $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ の判別式 | ||
| + | $D = b^{2}c^{2} - 4ac^{3} - 4b^{3}d - 27a^{2}d^{2} + 18abcd$ | ||
| + | |||
| + | === 解の公式 === | ||
| + | |||
| + | == 一次方程式 == | ||
| + | |||
| + | $ax + b = 0（a,b \in \mathbb{R}, | ||
| + | $x = -\frac{b}{a}$ | ||
多項式.1606099250.txt.gz · 最終更新: 2020/11/23 11:40 by kittttttan