多項式

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--- 多項式 [2020/11/23 11:51] – [因数定理] kittttttan
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 多項式の判別式(discriminant)とは、その多項式の根が重根を持つための条件を与える、係数の多項式で最小のもののことである。
-$\sum \limits_{k = 0}^{n} a_{k}x^{k} \quad (a_n \neq 0)$
+$f(x) = \sum \limits_{k = 0}^{n} a_{k}x^{k} \quad (a_n \neq 0)$
 の重複を含めた根を $α_k (1 \leq k \leq n)$ とすると、
-$$ D={a_{n}}^{2n-2} \prod \limits_{i,j(i<j)}(\alpha _{i}-\alpha _{j})^{2}=(-1)^{n(n-1)/2}{a_{n}}^{2n-2}\prod \limits _{i,j(i\neq j)}(\alpha _{i}-\alpha _{j}) $$
+$$ D = {a_{n}}^{2n-2} \prod \limits_{i,j(i<j)}(\alpha _{i}-\alpha _{j})^{2}=(-1)^{n(n-1)/2}{a_{n}}^{2n-2}\prod \limits _{i,j(i\neq j)}(\alpha _{i}-\alpha _{j}) $$
+判別式 D を係数 $a_k$ で表すには、終結式($Res(f, f')$)を用いて
+$$
+D = \frac{(-1)^{n(n-1) / 2}}{a_{n}}
+\begin{vmatrix}
+a_{n} & a_{n-1} & \cdots & \cdots & a_{0} & & \\
+& \ddots & \ddots & & & \ddots & \\
+& & a_{n} & a_{n-1} & \cdots & \cdots & a_{0} \\
+na_{n} & (n-1)a_{n-1} & \cdots & 1a_{1} & & & \\
+& \ddots & \ddots & & \ddots & & \\
+& & \ddots & \ddots & & \ddots & \\
+& & & na_{n} & (n-1)a_{n-1} & \cdots & 1a_{1}
+\end{vmatrix}
+$$
+二次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の判別式
+$D = b^{2} - 4ac$
+三次方程式 $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ の判別式
+$D = b^{2}c^{2} - 4ac^{3} - 4b^{3}d - 27a^{2}d^{2} + 18abcd$
+=== 解の公式 ===
+== 一次方程式 ==
+$ax + b = 0（a,b \in \mathbb{R},\, a \neq 0)$ の解
+$x = -\frac{b}{a}$

多項式.1606099915.txt.gz · 最終更新: 2020/11/23 11:51 by kittttttan