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===== 多項式 =====

多項式(polynomial)とは、数と不定元をもとにして、和と積によってつくられる式のことである。

x の多項式は $\sum \limits_{k = 0}^{n} a_{k}x^{k} = a_{n}x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_{1}x + a_{0} \quad (a_n \neq 0)$ で表される\\
$a_{k}x^k$ を(k 次の)項とよび、$a_{k}$ をその項の係数とよぶ。特に、$a_0$ を定数項とよぶ。n のことを次数とよぶ。

==== 因数分解 ====

因数分解(factorization, factoring)とは因数(factor)の積に分解することである。

=== 公式 ===

$$\begin{align}
ax + ab &= a(x + b) \\
acx^2 + (ac + bd)x + cd &= (ax + b)(cx + d) \\
x^2 + (a + b)x + ab &= (x + a)(x + b) \\
x^2 \pm 2ax + a^2 &= (x \pm a)^2 \quad (複号同順) \\
x^2 - a^2 &= (x + a)(x - a) \\
x^3 \pm 3ax^2 + 3a^2x \pm a^3 &= (x \pm a)^3 \quad (複号同順) \\
x^3 \pm a^3 &= (x \pm a)(x^2 \mp ax + a^2) \quad (複号同順) \\
x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2zx &= (x + y + z)^2 \\
x^3 + y^3 + z^3 -3xyz &= (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx) \\
\end{align}$$

==== 代数方程式 ====

=== 代数学の基本定理 ===

複素係数の任意の n 次多項式\\
$a_{n}x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_{1}x + a_{0} \quad (a_{n}, \cdots ,a_{0} \in \mathbb{C} ,\; a_{n} \neq 0)$\\
は複素根を重複を込めてちょうど n 個持つ