math

素数(prime number)とは、1 より大きい自然数で、正の約数が 1 と自分自身のみであるもののこと。特に2以外の素数は奇数であり、奇素数と呼ぶ。
1 より大きい自然数で素数でないものは合成数という。

例: 2, 3, 5, 7, 11, 13, …

素数は無限に存在する

整数 $a \ne 0$ が N の約数であるとは、 $ \exists b \in \mathbb{Z},\, N = ab $ が成立することである

2 以上の自然数は、素数の積で表せる。 その表し方は積の順序を除けば一意である。

c が a と互いに素であり、かつ c | ab ならば、c | b である。

$\forall a, \forall b \in \mathbb{Z} \setminus \{0\},\; d = gcd(a, b) \Rightarrow \exists x, \exists y \in \mathbb{Z}: ax + by = d$
d は ax + by と書ける最小の正の整数であり、ax + by の形のすべての整数は d の倍数である。 x と y は (a, b) のベズー係数と呼ばれる。

差が 2 である二つの素数の組。双子素数は無数に存在するかという問題は未解決。

例: (3, 5), (5, 7), (11, 13), …

全ての 3 よりも大きな偶数は2つの素数の和として表すことができる

例: 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, …