多項式(poly­nomial)とは、数と不定元をもとにして、和と積によってつくられる式のことである。

x の多項式は $\sum \limits_{k = 0}^{n} a_{k}x^{k} = a_{n}x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_{1}x + a_{0} \quad (a_n \neq 0)$ で表される
$a_{k}x^k$ を(k 次の)項とよび、$a_{k}$ をその項の係数とよぶ。特に、$a_0$ を定数項とよぶ。n のことを次数とよぶ。

因数分解(factorization, factoring)とは因数(factor)の積に分解することである。

$$\begin{align} ax + ab &= a(x + b) \\ acx^2 + (ac + bd)x + cd &= (ax + b)(cx + d) \\ x^2 + (a + b)x + ab &= (x + a)(x + b) \\ x^2 \pm 2ax + a^2 &= (x \pm a)^2 \quad (複号同順) \\ x^2 - a^2 &= (x + a)(x - a) \\ x^3 \pm 3ax^2 + 3a^2x \pm a^3 &= (x \pm a)^3 \quad (複号同順) \\ x^3 \pm a^3 &= (x \pm a)(x^2 \mp ax + a^2) \quad (複号同順) \\ x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2zx &= (x + y + z)^2 \\ x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz &= (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx) \\ \end{align}$$ 例: $9991 = 10000 - 9 = 100^2 - 3^2 = (100 - 3)(100 + 3) = 97 \times 103$

代数方程式 f(x) = 0 の解を根(root)という
$f(x) = (x - \alpha)^{k}g(x),\quad g(\alpha) \neq 0 \quad (k \in \mathbb{N})$ のとき α を f(x) の k 重根または k 位の零点といい、k を根 α の位数という。

複素係数の任意の n 次多項式 $\sum \limits_{k = 0}^{n} a_{k}x^{k} \quad (a_{k} \in \mathbb{C} ,\; a_{n} \neq 0)$ は複素根を重複を込めてちょうど n 個持つ

$多項式 f(x) が x - α を因数に持つ \Leftrightarrow f(α) = 0$

多項式の判別式(discriminant)とは、その多項式の根が重根を持つための条件を与える、係数の多項式で最小のもののことである。

$f(x) = \sum \limits_{k = 0}^{n} a_{k}x^{k} \quad (a_n \neq 0)$ の重複を含めた根を $α_k (1 \leq k \leq n)$ とすると、 $$ D = {a_{n}}^{2n-2} \prod \limits_{i,j(i<j)}(\alpha _{i}-\alpha _{j})^{2}=(-1)^{n(n-1)/2}{a_{n}}^{2n-2}\prod \limits _{i,j(i\neq j)}(\alpha _{i}-\alpha _{j}) $$

判別式 D を係数 $a_k$ で表すには、終結式($Res(f, f')$)を用いて $$ D = \frac{(-1)^{n(n-1) / 2}}{a_{n}} \begin{vmatrix} a_{n} & a_{n-1} & \cdots & \cdots & a_{0} & & \\ & \ddots & \ddots & & & \ddots & \\ & & a_{n} & a_{n-1} & \cdots & \cdots & a_{0} \\ na_{n} & (n-1)a_{n-1} & \cdots & 1a_{1} & & & \\ & \ddots & \ddots & & \ddots & & \\ & & \ddots & \ddots & & \ddots & \\ & & & na_{n} & (n-1)a_{n-1} & \cdots & 1a_{1} \end{vmatrix} $$

二次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の判別式 $D = b^{2} - 4ac$

三次方程式 $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ の判別式 $D = b^{2}c^{2} - 4ac^{3} - 4b^{3}d - 27a^{2}d^{2} + 18abcd$

$ax + b = 0（a,b \in \mathbb{R},\, a \neq 0)$ の解 $x = -\frac{b}{a}$