自然数(natural number) $\mathbb{N} := \{1, 2, 3, \dots\}$
0を含める場合もある $\mathbb{N}_0 := \{0, 1, 2, 3, \dots\}$

厳密に定義可能な公理としてペアノの公理がある

• 素数
• 完全数

整数(integer) $\mathbb{Z} := \{\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots\}$

正の整数 $\mathbb{Z}_{+} := \{a \mid a \in \mathbb{Z},\; a > 0\} = \{1, 2, 3, \dots\} = \mathbb{N}$
負の整数 $\mathbb{Z}_{-} := \{a \mid a \in \mathbb{Z},\; a < 0\} = \{-1, -2, -3, \dots\}$

• 合同式
• 平方剰余

有理数(rational number) $\mathbb{Q} := \{\frac{a}{b} \mid a,b \in \mathbb{Z},\; b \ne 0\}$

循環小数は有理数

実数(real number) $\mathbb{R} := \mathbb{Q} \cup {無理数}$

無理数(irrational number) 2の平方根 $\sqrt {2}$, 円周率 $\pi$, ネイピア数 $e$ など

複素数(complex number) $\mathbb{C} := \{a + bi \mid a,b \in \mathbb{R},\; i = \sqrt{-1}\}$ i: 虚数単位

• 代数的数
• 超越数

四元数(quaternion) $a + bi + cj + dk \hspace{1em} (a,b,c,d \in \mathbb{R},\; i^{2} = j^{2} = k^{2} = ijk = -1)$